数学界三大奖之一“阿贝尔奖”揭晓

2020-04-08 竞技宝最佳竞猜

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国际数学界最高荣誉之一2020年度阿贝尔奖近日颁发,以色列希伯来大学的希勒尔·弗斯滕贝格和美国耶鲁大学的格雷戈里·马古利斯摘得大奖,以表彰他们率先将概率论和动力系统的方法用于群论、数论和组合数学。

把一些“毫无头绪”的问题数学化

现年85岁的弗斯滕贝格和74岁的马古利斯都是犹太人,国际顶尖数学家。如今,马古利斯已集齐阿尔贝奖、菲尔兹奖和沃尔夫奖——数学界“三大奖”于一身。而弗斯滕贝格也获得了除菲尔兹奖(只颁给40岁以下的年轻人)以外的两大奖项。

在二十世纪,人们通常认为概率论只是应用数学的范畴,而弗斯滕贝格和马古利斯作为概率论和动力系统的“大佬”,却找到了一类新方法以展示随机性、概率方法如何解决抽象问题,解决了纯数学的问题,用阿贝尔奖委员会主席汉斯·芒特—卡斯的评价来说,“他们打破了理论数学与应用数学间的传统壁垒,解开了此前看起来毫无头绪的问题。”

“他们率先将概率论和动力系统的方法用于群论、数论和组合数学。打通这些领域,一方面可以用动力系统或者遍历理论的方法来解决问题,另一方面也提供了看待问题的新视角和新观点。”南京大学数学系副教授窦斗解释,动力系统的方法是选取一个适当的动力系统,将自然数对应于动力系统中点的迭代时间,将系统中的点在演化下进入某个集合的时间集对应自然数的某个子集。“这样一来,原有的问题就可以转化为动力系统的问题。”

数学家的专属“动力系统”很多人都很陌生——而这恰恰是数学家“化繁为简”的大招。

南京大学数学系程伟教授介绍,人们可以把最简单的动力系统模型,想象成一台老式的、纸带的打字机。按照伽莫夫在《从一到无穷大》一书中的描述,如果这台打字机一直打下去,而且纸带也足够长,那么一定会发现莎士比亚的十四行诗!“当然我们知道,等待这些杰作的时间是需要很长很长的时间的。”

“所谓动力系统,我们可以想象成打印机不断运行下的纸带,为了简化这个模型,我们可以想象纸带上只有0和1排列出来的序列。在时间趋于无穷大的时候,系统的行为会是什么?”程伟表示,这其中既有规律性的东西,又有混乱的随机性的东西,动力系统一般而言是一个随机性和确定性共生的系统,“我们也可以说,动力系统是研究时间的科学。”

混沌中隐藏秩序和结构

动力系统的诞生,离不开一个人——著名科学家亨利·庞加莱。

1889年,时年34岁的亨利·庞加莱在一项由数学爱好者瑞典和挪威国王奥斯卡二世主办的大赛上,提交了自己的论文,宣称他能够以任意精度计算三体的运动轨迹,并成功获奖。但当论文被《数学学报》编辑并准备发布时,庞加莱开始意识到自己犯了一个严重的错误。他关于三体问题解决方法的证明是不成立的。因为这个错误,印好这篇论文的杂志被全球召回。而庞加莱从犯错的尴尬中走出来,并开始弥补他的错误,却意外开创了动力系统这一数学学科。

窦斗说,在解决三体问题的过程中,人们发现,用牛顿时代的微分方程来描述天体的运动,或期望通过求解微分方程来决定天体演化已经不再可行,三体以及多体系统通常无法精确求解,其运行轨道无法预测。“于是数学家们将系统所有可能出现的状态作为研究对象,研究这些状态随时间演化的定性性质和长时间的行为规律,这就导致了动力系统的产生。”

庞加莱及其后继的巨人们让人们发现了确定性系统内部的不确定运动,即所谓的“混沌”(chaos),自上个世纪80年代以来,混沌理论就吸引了数学、物理、工程、生态学、经济、气象学、情报学等诸多领域的关注,广泛应用于自然学科,并引发了全球“混沌热”。可以说,没有动力系统就没有混沌的发现。

“人们在研究混沌的过程中发现,有些系统的演化是确定性的,而有些系统中,一个微小的误差随着时间不断推移可能造成巨大的后果。”窦斗说,这可以用著名的“蝴蝶效应”举例:一只生活在南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,就可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。“这说明有些系统(例如气象系统)对初始条件极为敏感,具有极度的复杂性和不确定性。在动力系统中,人们用‘混沌’一词来描述这类现象。”

“混沌显著的特征,除了对初值有敏感性外,另一个重要特征是,某个状态在长时间以后还一定会回来,可以理解为‘若即若离’。”程伟表示,由于混沌对于初值的敏感性,所以不可预测;而由于“若即若离”的回归性,混沌又伴生了类似周期性的规律。

两位数学家工作中的共通点就是使用了遍历理论,揭示了“混沌”中隐藏的秩序和结构。